真题解析，轻松通关！

UHSFL977

在备战高考的过程中，真题解析无疑成为了考生们的重要法宝。通过对历年真题的深入分析，考生们可以轻松通关，取得优异的成绩。下面，就让我们一起来解析一道典型的高考数学真题，共同感受真题解析的魅力。
一、题目呈现
（2019年全国I卷理数一）已知函数$f(x)=\ln(x+1)+\sqrt{x-1}$，其中$x>0$，设$g(x)=f(x)-f(1)$。
（1）求$g(x)$的解析式；
（2）若$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，求实数$a$的取值范围。
二、解题思路
（1）求$g(x)$的解析式
由题意得：$g(x)=f(x)-f(1)=\ln(x+1)+\sqrt{x-1}-\ln(2)+\sqrt{1-1}$
化简得：$g(x)=\ln(x+1)-\ln(2)+\sqrt{x-1}$
所以$g(x)$的解析式为：$g(x)=\ln\left(\frac{x+1}{2}\right)+\sqrt{x-1}$
（2）求实数$a$的取值范围
我们需要求出$g(x)$的导数$g'(x)$，以判断其在$(0,+\infty)$上的单调性。
$g'(x)=\frac{d}{dx}\left[\ln\left(\frac{x+1}{2}\right)+\sqrt{x-1}\right]$
$g'(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$
要使$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，即$g'(x)\geq0$，我们有：
$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\geq0$
化简得：$2\sqrt{x-1}+x+1\geq0$
由于$x>0$，我们可以将不等式两边同时平方，得到：
$4(x-1)+(x+1)^2\geq0$
$4x^2-2x+1\geq0$
$(2x-1)^2\geq0$
这个不等式对于所有的$x>0$都成立，因此$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
接下来，我们需要求出实数$a$的取值范围。根据题意，$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，即$g'(x)\geq0$。由于$g'(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$，我们可以得出：
$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\geq0$
$\frac{2\sqrt{x-1}+x+1}{2\sqrt{x-1}(x+1)}\geq0$
由于$x>0$，$2\sqrt{x-1}(x+1)>0$，因此分子$2\sqrt{x-1}+x+1$的符号决定了整个分式的符号。
要使$g'(x)\geq0$，即分子$2\sqrt{x-1}+x+1\geq0$，我们可以求出分子$2\sqrt{x-1}+x+1$的最小值。
设$h(x)=2\sqrt{x-1}+x+1$，则$h'(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}+1$。
令$h'(x)=0$，解得$x=2$。
当$x=2$时，$h(x)$取得最小值，即$h(2)=2\sqrt{2-1}+2+1=5$。
因此，要使$g'(x)\geq0$，实数$a$的取值范围为$a\geq5$。
三、总结
通过对这道高考数学真题的解析，我们不仅掌握了求函数解析式的方法，还学会了如何判断函数的单调性，以及如何求解实数参数的取值范围。这样的真题解析过程，既锻炼了我们的解题能力，又让我们在轻松的氛围中取得了宝贵的经验。在今后的备考过程中，我们要善于运用真题解析，不断提高自己的解题水平，轻松通关高考。